palacsint weblapja

Vizsgára készülés közben, vagy inkább a helyett eszembejutott egy érdekes probléma. Adott két tételsor, A és B. Esetemben előbbi 26 tétellel, utóbbi pedig 20-al. A vizsgán mindkét tételsorból húzni kell egy-egy tételt, a siker feltétele pedig az, hogy mindkettőt legalább elégségesre el kell mondani. Tegyük fel, hogy, nem tudom mind a 46-ot megtanulni. Ilyenkor milyen arányban érdemes az A, illetve a B tételsor tételeit bevágni, hogy legnagyobb esélyem legyen olyan tételeket húzni, amelyeket megtanultam?

Erre próbálok választ adni jelenlegi matektudásom alapján.
p(A) = n/26
p(B) = m/20

n + m konstans, ennyi tételt tudok megtanulni. Annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik kihúzott tételt nem tanultam meg:
1 - p(A) * p(B)

Ebből p(A) * p(B) annak a valószínűsége, hogy mindkettőt tudom. Ezt az értéket kellene maximalizálni. Kifejtve így néz ki:
p(A) * p(B) = n/26 * m/20 = n*m / (20 * 26)

Innen csak az n * m szorzat a lényeges, mert a nevező konstans. Úgy néz ki, hogy ez a szorzat rögzített n + m esetén akkor maximális, ha n = m, tehát ha különbségük minimális.

Erre biztos van már valamilyen matematikai tétel, de én a következőt találtam ki. Ha ugyanannyi tételt tanulok meg a két tételsorból, akkor n = m, tehát az n + m konstans felét kell kiszámítanom, legyen ez a:
a = (n + m) / 2

Ha ettől eltérek, és az A tételsorból x-el többet, a B-ből pedig x-el kevesebbet tanulok meg, akkor a maximalizálandó szorzat így alakul:
(a + x) (a - x) = a² - x²

Látható, hogy ez akkor lesz maximális, ha x = 0. Tehát ugyanannyi tételt érdemes mindkét tételsorból megtanulni, még akkor is, ha ezek nem egyforma számosságuak.

Ha az nem lehetséges, mert az előző példánál maradva összesen 42 tételt tudunk megtanulni, akkor is az x-et kell minimalizálni. Ez így m = 20, n = 22-nek adódik, tehát a rövidebb tételsort teljesen be kell vágni.